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あなたが提示するクライアント証明書が無効な場合（インストールしていない場合や、有効期限が切れている場合など）は、サーバに接続する段階でエラーになるため、ブラウザによって「安全な接続できません」や「Secure Connection Failed」といったエラーメッセージが出されます。また、証明書を更新したのに、ブラウザが古い証明書を自動的に選択している可能性があります。
クライアント証明書を選択し提示する方法はあなたのブラウザ設定によりますが、ブラウザを立ち上げ直したり、履歴やcookieをクリアすることで、クライアント証明書の選択画面が出るようになる場合があります。